Em um avanço que refuta décadas de sabedoria convencional, dois matemáticos mostraram que duas variantes diferentes do infinito têm, surpreendentemente, o mesmo tamanho. O avanço toca em um dos problemas mais famosos e intratáveis na matemática: se existem infinitos entre o tamanho infinito dos números naturais e a maior grandeza infinita dos números reais.
O problema foi identificado pela primeira vez há mais de um século. Na época, os matemáticos sabiam que “os números reais são maiores que os números naturais, mas desconheciam valores. Esse é o próximo tamanho maior, ou há um tamanho entre eles? “, disse Maryanthe Malliaris, da Universidade de Chicago, co-autora do novo trabalho junto com Saharon Shelah, da Universidade Hebraica de Jerusalém e da Universidade Rutgers.
Em seu novo trabalho, Malliaris e Shelah resolvem uma questão surgida há mais de 70 anos sobre se um infinito (chamado p) é menor do que outro infinito (chamado t). Eles provaram que os dois são de fato iguais, para a surpresa da comunidade matemática.
“Certamente foi minha opinião, e a opinião geral, que p deveria ser menor do que t”, disse Shelah.
Malliaris e Shelah publicaram suas evidências no ano passado no Journal of the American Mathematical Society e foram homenageados em julho deste ano com um dos melhores prêmios no campo da teoria dos conjuntos. Mas seu trabalho tem ramificações muito além da questão específica de como esses dois infinitos estão relacionados. Ele abre um link inesperado entre os tamanhos de conjuntos infinitos e um esforço paralelo para mapear a complexidade das teorias matemáticas.
A noção de infinito é flexível. Mas a ideia de que podem existir diferentes tamanhos de infinito? Essa é talvez a descoberta matemática mais contraditória já trazida à tona. Ela emerge, no entanto, de um jogo de correspondência, que até mesmo as crianças poderiam entender.
Suponha que você tenha dois grupos de objetos ou dois “conjuntos”, como os matemáticos os chamariam: um conjunto de carros e um conjunto de motoristas. Se houver exatamente um motorista para cada carro, sem carros vazios e sem motoristas deixados para trás, então você sabe que o número de carros é igual ao número de motoristas (mesmo que não se saiba exatamente quantos são, no total).
No final do século 19, o matemático alemão Georg Cantor capturou o espírito desta estratégia de correspondência na linguagem formal da matemática. Ele provou que dois conjuntos têm o mesmo tamanho, ou “cardinalidade”, quando podem ser inseridos em uma correspondência um a um entre si – ou, resgatando nossa analogia, quando há exatamente um motorista para cada carro. Talvez mais surpreendentemente, ele mostrou que essa abordagem funciona para conjuntos infinitamente grandes também.
Considere os números naturais: 1, 2, 3 e assim por diante. Esse conjunto é infinito. Mas e quanto ao conjunto de apenas números pares, ou apenas números primos? Cada um deles pareceria, ao princípio, ser um subconjunto menor dos números naturais. E, de fato, em qualquer trecho finito da linha numérica, há cerca de metade de números pares como números naturais e uma quantidade ainda menor de números primos.
No entanto, conjuntos infinitos se comportam de forma diferente. Cantor mostrou que há uma correspondência um a um entre os elementos de cada um desses conjuntos infinitos.
Por esse motivo, Cantor concluiu que os três conjuntos têm o mesmo tamanho. Matemáticos chamam esse tipo de formação como conjuntos “contáveis”, porque se pode atribuir um número de contagem a cada elemento em cada conjunto.
Depois de estabelecer que é possível comparar os tamanhos de conjuntos infinitos, ao colocá-los em correspondência um a um, Cantor deu um salto ainda maior: provou que alguns conjuntos infinitos são ainda maiores que o conjunto de números naturais.
Considere os números reais, que correspondem a todos os pontos na linha numérica. Estes são às vezes chamados de “continuum”, em alusão à sua natureza contínua: não há espaço entre um número real e o seguinte. Cantor conseguiu demostrar que os números reais não podem ser colocados em uma correspondência um a um com os números naturais: mesmo depois de criar uma lista infinita emparelhando números naturais com números reais, sempre é possível criar outro número real que não esteja na lista. Por isso, ele concluiu que o conjunto de números reais é maior do que o conjunto de números naturais. Assim, nasceu um segundo tipo de infinito: o incontavelmente infinito.
O que Cantor não conseguiu descobrir é se existe um tamanho intermediário do infinito – algo entre o tamanho dos números naturais contáveis e os incontáveis. Ele deduziu que não existe, e essa conjectura é agora conhecida como a hipótese do continuum.
Em 1900, o matemático alemão David Hilbert elaborou uma lista que selecionava os 23 problemas mais importantes em matemática. Ele colocou a hipótese do continuum no topo. “Parecia uma pergunta extremamente urgente a respondida”, disse Malliaris.
No século passado, a questão revelou-se quase exclusivamente resistente aos melhores esforços dos matemáticos. Existem infinitos intermediários? Talvez nunca conseguiremos descobrir.
Forçado a sair
Ao longo da primeira metade do século 20, matemáticos tentaram resolver a hipótese do contínuo estudando diversos conjuntos infinitos que apareceram em muitas áreas da matemática. Eles esperavam que, comparando esses infinitos, pudessem começar a entender a possibilidade de espaços não vazios entre o tamanho dos números naturais e o tamanho dos números reais.
Muitas das comparações se provaram difíceis de ser esquematizadas. Na década de 1960, o matemático Paul Cohen explicou o porquê. Cohen desenvolveu um método chamado “forcing”, no qual demonstrou que a hipótese do contínuo é independente dos axiomas da matemática – isto é, não poderia ser comprovada dentro do quadro da teoria do conjunto. (O trabalho de Cohen complementou o de Kurt Gödel, em 1940, que mostrou que a hipótese do continuum não poderia ser refutada nos axiomas usuais da matemática).
O trabalho de Cohen rendeu-lhe a Medalha Fields (uma das maiores honras da matemática) em 1966. Os matemáticos posteriormente usaram a forcing para resolver muitas das comparações entre infinitos apontadas durante o meio século anterior, mostrando que estas também não poderiam ser respondidos dentro do quadro da teoria dos conjuntos. (Especificamente, a teoria de Zermelo-Fraenkel, mais o axioma de escolha.)
Contudo, alguns problemas permanecem sem solução, incluindo uma questão da década de 1940 sobre se p é igual a t. Tanto p como t são ordens de infinito que quantificam o tamanho mínimo de coleções de subconjuntos dos números naturais de maneiras precisas (e aparentemente únicas).
Os detalhes dos dois tamanhos não são tão relevantes. O que é mais importante é que os matemáticos rapidamente descobriram dois aspectos sobre os tamanhos de p e t. Primeiro, ambos os conjuntos são maiores do que os números naturais. Em segundo lugar, p é sempre menor ou igual a t. Portanto, se p for menor do que t, então p seria um infinito intermediário – algo entre o tamanho dos números naturais e o tamanho dos números reais. A hipótese do continuum seria falsa.
Os matemáticos inclinaram-se a assumir que a relação entre p e t não poderia ser comprovada no âmbito da teoria dos conjuntos, mas também não conseguiram estabelecer a independência do problema. A relação entre p e t permaneceu nesse estado indeterminado por décadas. Quando Malliaris e Shelah encontraram uma maneira de resolvê-lo, era só porque eles buscavam por outra coisa.
Uma ordem de complexidade
Ao mesmo tempo que Paul Cohen forçava a hipótese do continuum além do alcance da matemática, uma linha de trabalho muito diferente se iniciava no campo da teoria do modelo.
Para um teórico do modelo, uma “teoria” é o conjunto de axiomas, ou regras, que definem uma área de matemática. Você pode pensar na teoria do modelo como uma maneira de classificar as teorias matemáticas – uma exploração do código fonte da área de estudo. “Eu acho que a razão pela qual as pessoas estão interessadas em classificar teorias é que eles querem entender o que realmente está fazendo com que certas coisas aconteçam em áreas de matemática muito diferentes”, disse H. Jerome Keisler, professor emérito de matemática da Universidade de Wisconsin, em Madison.
Em 1967, Keisler introduziu o que agora é chamado de ordem de Keisler, que procura classificar as teorias matemáticas com base na sua complexidade. Ele propôs uma técnica para medir a complexidade e conseguiu provar que as teorias matemáticas podem ser classificadas em, pelo menos, duas classes: as que são minimamente complexas e as que são maximamente complexas. “Foi um singelo ponto de partida, mas meu sentimento naquele momento era de que haveria muitas classes infinitas”, disse Keisler.
Nem sempre é óbvio o que significa que uma teoria seja complexa. Muito trabalho de campo é motivado em parte por um desejo de entender essa questão. Keisler descreve a complexidade como a gama de coisas que podem acontecer em uma teoria – e as teorias em que mais coisas podem acontecer são mais complexas do que teorias em que poucas coisas podem acontecer.
Pouco mais de uma década depois de Keisler ter introduzido sua ordem, Shelah publicou um livro influente, no qual incluiu um importante capítulo que mostra a existência de saltos naturais na complexidade – linhas divisórias que distinguem as teorias mais complexas das menos complexas. Depois disso, pouco progresso foi feito na ordem da Keisler por 30 anos.
Então, em sua tese de doutorado de 2009 e outras pesquisas iniciais, Malliaris reabriu o trabalho na ordem de Keisler e forneceu novas evidências de seu poder como um programa de classificação. Em 2011, ela e Shelah começaram a trabalhar juntos para entender melhor a estrutura da ordem. Um dos seus objetivos era identificar mais das propriedades que tornam a teoria maximamente complexa, de acordo com o critério de Keisler.
Malliaris e Shelah observaram duas propriedades em particular. Eles já sabiam que a primeira gera complexidade máxima. Queriam saber se a segunda teria o mesmo resultado. À medida que seu trabalho progrediu, eles perceberam que esta questão era paralela à questão de saber se p e t são iguais. Em 2016, Malliaris e Shelah publicaram um artigo de 60 páginas que resolveu ambos os problemas: provaram que as duas propriedades são igualmente complexas (ambas causam a máxima complexidade), e demonstraram que p é igual a t. [ScientificAmerican]
